# std::legendre, std::legendref, std::legendrel

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定义于头文件 `<cmath>` |  |
double legendre( unsigned int n, double x ); float legendre( unsigned int n, float x ); long double legendre( unsigned int n, long double x ); float legendref( unsigned int n, float x ); long double legendrel( unsigned int n, long double x ); | (1) | (C++17 起)
double legendre( unsigned int n, IntegralType x ); | (2) | (C++17 起)

1) 以参数 `x` 计算 `n` 次非关联勒让德多项式
2) 接受任意整数类型参数的重载集或函数模板。等价于将参数转型到 double 后的 (1) 。

### 参数

n | - | 多项式的次数
x | - | 参数，浮点或整数类型的值

### 返回值

若无错误发生，则返回 `x` 的 `n` 阶非关联勒让德多项式的值，即 \(\mathsf{P}_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathsf{d}^n}{\mathsf{d}x^n} (x^2-1)^n \)

1
2n n!

dn
dxn

(x2
-1)n
。

### 错误处理

可能报告 `math_errhandling` 中指定的错误

- 若参数是 NaN ，则返回 NaN 且不报告定义域错误
- 不要求函数对 |x|>1 有定义
- 若 `n` 大于或等于 128 ，则行为是实现定义的

### 注解

不支持 C++17 ，但支持 ISO 29124:2010 的实现会提供此函数，若实现定义了 `__STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__` 为至少 201003L 的值，且用户在包含任何标准库头文件前定义了 `__STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__` 。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现，在头文件 `tr1/cmath` 及命名空间 `std::tr1` 中提供此函数。

此函数的一种实现亦可用于 boost.math

前几个勒让德多项式是：

- legendre(0, x) = 1
- legendre(1, x) = x
- legendre(2, x) =

  1
  2

  (3x2
  -1)
- legendre(3, x) =

  1
  2

  (5x3
  -3x)
- legendre(4, x) =

  1
  8

  (35x4
  -30x2
  +3)

### 示例

    #include <cmath>
    #include <iostream>
    double P3(double x) { return 0.5*(5*std::pow(x,3) - 3*x); }
    double P4(double x) { return 0.125*(35*std::pow(x,4)-30*x*x+3); }
    int main()
    {
        // 点检查
        std::cout << std::legendre(3, 0.25) << '=' << P3(0.25) << '\n'
                  << std::legendre(4, 0.25) << '=' << P4(0.25) << '\n';
    }

输出：

    -0.335938=-0.335938
    0.157715=0.157715

### 参阅

laguerre laguerref laguerrel (C++17)(C++17)(C++17) | 拉盖尔多项式 (函数)
hermite hermitef hermitel (C++17)(C++17)(C++17) | 埃尔米特多项式 (函数)

### 外部链接

Weisstein, Eric W. “勒让德多项式”来自 MathWorld--A Wolfram Web Resource 。