# std::assoc_legendre, std::assoc_legendref, std::assoc_legendrel

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定义于头文件 `<cmath>` |  |
double assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, double x ); float assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, float x ); long double assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, long double x ); float assoc_legendref( unsigned int n, unsigned int m, float x ); long double assoc_legendrel( unsigned int n, unsigned int m, long double x ); | (1) | (C++17 起)
double assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, IntegralType x ); | (2) | (C++17 起)

1) 以参数 `x` 计算 `n` 次 `m` 阶关联勒让德多项式
2) 接受任何整数类型参数的重载集或函数模板。等价于将参数转型到 double 后的 (1) 。

### 参数

n | - | 多项式的次数，无符号整数值
m | - | 多项式的阶数，无符号整数值
x | - | 参数，浮点或整数类型值

### 返回值

若无错误发生，则返回 `x` 的关联勒让德多项式 \(\mathsf{P}_n^m\)Pm
n 的值，即 \((1 - x^2) ^ {m/2} \: \frac{ \mathsf{d} ^ m}{ \mathsf{d}x ^ m} \, \mathsf{P}_n(x)\)(1-x2
)m/2

dm
dxm

P
n(x) （其中 \(\mathsf{P}_n(x)\)P
n(x) 是非关勒让德多项式 std::legendre(n, x) ）。

注意此定义忽略 Condon-Shortley 相位项 \((-1)^m\)(-1)m
。

### 错误处理

可能报告 `math_errhandling` 中指定的错误。

- 若参数是 NaN ，则返回 NaN 且不报告定义域错误
- 若 |x| > 1 ，则可能出现定义域错误
- 若 `n` 大于或等于 128 ，则行为是实现定义的。

### 注解

不支持 C++17 ，但支持 ISO 29124:2010 的实现会提供此函数，若实现定义了 `__STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__` 为至少 201003L 的值，且用户在包含任何标准库头文件前定义了 `__STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__` 。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现，在头文件 `tr1/cmath` 及命名空间 `std::tr1` 中提供此函数。

此函数的一种实现亦作为 `boost::math::legendre_p` 可用于 boost.math ，除了 boost.math 定义包含 Condon-Shortley 相位项。

前几个关联勒让德多项式是：

- assoc_legendre(0, 0, x) = 1
- assoc_legendre(1, 0, x) = x
- assoc_legendre(1, 1, x) = (1-x2
  )1/2
- assoc_legendre(2, 0, x) =

  1
  2

  (3x2
  -1)
- assoc_legendre(2, 1, x) = 3x(1-x2
  )1/2
- assoc_legendre(2, 2, x) = 3(1-x2
  )

### 示例

    #include <cmath>
    #include <iostream>
    double P20(double x) { return 0.5*(3*x*x-1); }
    double P21(double x) { return -3.0*x*std::sqrt(1-x*x); }
    double P22(double x) { return 3*(1-x*x); }
    int main()
    {
        // 点检查
        std::cout << std::assoc_legendre(2, 0, 0.5) << '=' << P20(0.5) << '\n'
                  << std::assoc_legendre(2, 1, 0.5) << '=' << P21(0.5) << '\n'
                  << std::assoc_legendre(2, 2, 0.5) << '=' << P22(0.5) << '\n';
    }

输出：

    -0.125=-0.125
    1.29904=1.29904
    2.25=2.25

### 参阅

legendre legendref legendrel (C++17)(C++17)(C++17) | 勒让德多项式 (函数)

### 外部链接

Weisstein, Eric W. “关联勒让德多项式”来自 MathWorld--A Wolfram Web Resource 。