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2026-04-10 18:09:36 +08:00
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451
web/doc/2.2 数组的插入与删除.md Normal file
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@@ -0,0 +1,451 @@
# 2.2 数组的插入与删除
---
## 一、先把数组想成一排固定座位
今天我们只学两件事：
- 往数组里放进一个新元素，这叫**插入**。
- 从数组里拿走一个元素，这叫**删除**。
数组可以想成教室里一排**紧紧挨着的固定座位**，每个位置都不能乱跳。
比如下面这个数组：
| 位置（第几个） | 第1个 | 第2个 | 第3个 | 第4个 | 第5个 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 内容 | 12 | 18 | 23 | 31 | 40 |
这里要特别注意：
- 平时说“第 1 个位置、第 2 个位置”，是按照人的习惯数的。
- 在 C++ 数组里，下标从 `0` 开始。
所以：
- 第 1 个位置，对应下标 `0`
- 第 3 个位置，对应下标 `2`
- 第 `pos` 个位置，对应下标 `pos - 1`
> 这节课讲图的时候，我们主要说“第几个位置”；写代码的时候，再换成下标。
---
## 二、为什么数组的插入和删除要“搬家”？
数组里的元素是**连续排在一起**的。
这就像一排已经坐好的同学：
- 想在中间插入一个人，就得有人挪一挪，腾出空位。
- 想删掉中间一个人，就会空出一个洞，后面的人要补上来。
所以数组的插入和删除，最关键的不是“放进去”或“拿出来”，而是：
> **怎样移动其他元素，才能既不丢数据，也不弄乱顺序。**
这就是本节最重要的地方。
---
## 三、数组插入：先腾位置，再放新元素
### 1. 例子：在第 3 个位置插入 20
原数组：
```text
位置： 1 2 3 4 5 6
内容： [12] [18] [23] [31] [40] [ ]
```
注意：这里第 6 个位置先留空，表示数组容量足够大，可以插入新元素。
现在要把 `20` 插入到**第 3 个位置**。
插入后应该变成：
```text
位置： 1 2 3 4 5 6
内容： [12] [18] [20] [23] [31] [40]
```
### 2. 插入时，元素是怎样移动的？
要想让第 3 个位置空出来，原来第 3、4、5 个位置上的元素都要向后移动一格。
但一定要记住：
> **插入时，要从后往前移。**
移动过程如下：
```text
原来： [12] [18] [23] [31] [40] [ ]
第1步： [12] [18] [23] [31] [40] [40] 把 40 往后移
第2步： [12] [18] [23] [31] [31] [40] 把 31 往后移
第3步： [12] [18] [23] [23] [31] [40] 把 23 往后移
第4步： [12] [18] [20] [23] [31] [40] 把 20 放进第 3 个位置
```
### 3. 为什么插入要从后往前移？
因为如果你从前往后移，前面的数据会把后面的数据盖掉。
来看一个错误示范。还是在第 3 个位置插入 `20`：
```text
原来： [12] [18] [23] [31] [40] [ ]
错误地从前往后移：
第1步： [12] [18] [23] [23] [40] [ ]
第2步： [12] [18] [23] [23] [23] [ ]
第3步： [12] [18] [23] [23] [23] [23]
```
你会发现：原来的 `31` 和 `40` 都不见了！
原因是：
- 你先把 `23` 复制到了后面。
- 后面的位置被改掉以后，再继续搬，就只能搬到已经改坏的数据。
所以插入时一定要：
> **从最后一个元素开始，倒着往前挪。**
### 4. 插入的步骤口诀
可以记成一句话：
> **先留空，从后搬，最后放。**
具体就是：
1. 先保证数组后面有空位置。
2. 从最后一个元素开始，依次向后移动一格。
3. 移到目标位置后停下。
4. 把新元素放进去。
5. 数组长度 `n` 加 1。
### 5. 插入的课堂版 C++ 代码
下面的代码约定：
- 数组现在有 `n` 个元素。
- 要把 `x` 插入到第 `pos` 个位置。
- `pos` 从 `1` 开始数。
- 数组容量足够大。
```cpp
for (int i = n; i >= pos; i--) {
a[i] = a[i - 1];
}
a[pos - 1] = x;
n++;
```
你可以这样理解这段循环：
- `i = n` 时，把最后一个元素搬到新位置。
- `i = n - 1` 时，把倒数第二个元素往后搬。
- 一直搬到第 `pos` 个位置为止。
---
## 四、数组删除：先补空位，再缩短长度
### 1. 例子：删除第 3 个位置的元素
原数组：
```text
位置： 1 2 3 4 5
内容： [ 8] [11] [14] [17] [20]
```
现在要删除第 3 个位置上的 `14`。
删除后应该变成：
```text
位置： 1 2 3 4
内容： [ 8] [11] [17] [20]
```
### 2. 删除时，元素是怎样移动的？
第 3 个位置删掉以后，会空出一个位置。后面的元素要依次往前补。
注意：
> **删除时，要从前往后移。**
移动过程如下：
```text
原来： [ 8] [11] [14] [17] [20]
第1步： [ 8] [11] [17] [17] [20] 把 17 往前移
第2步： [ 8] [11] [17] [20] [20] 把 20 往前移
最后： [ 8] [11] [17] [20] 长度减 1
```
最后那个多出来的 `20` 虽然还留在原来的地方，但因为数组长度已经减 1，所以它已经**不算数组的一部分了**。
### 3. 为什么删除要从前往后移？
因为空位在前面，应该让后面的元素一个一个补上来。
如果你反过来，从后往前移，也会出问题。还是删除第 3 个位置：
```text
原来： [ 8] [11] [14] [17] [20]
错误地从后往前移：
第1步： [ 8] [11] [14] [20] [20]
第2步： [ 8] [11] [20] [20] [20]
```
原来的 `17` 被弄丢了。
所以删除时要记住：
> **从缺口的后面开始，按顺序往前补。**
### 4. 删除的步骤口诀
可以记成一句话：
> **先删掉，从前搬，最后减。**
具体就是：
1. 找到要删除的位置。
2. 让后面的元素依次向前移动一格。
3. 数组长度 `n` 减 1。
### 5. 删除的课堂版 C++ 代码
下面的代码约定：
- 数组现在有 `n` 个元素。
- 删除第 `pos` 个位置上的元素。
- `pos` 从 `1` 开始数。
```cpp
for (int i = pos; i < n; i++) {
a[i - 1] = a[i];
}
n--;
```
你可以这样理解这段循环：
- `i = pos` 时，把后一个元素补到空位上。
- `i = pos + 1` 时，再把更后面的元素补上来。
- 一直补到最后一个元素为止。
---
## 五、插入和删除放在一起比较
| 操作 | 会发生什么 | 正确移动方向 | 为什么 |
|:---:|:---|:---:|:---|
| 插入 | 中间要腾出一个空位 | 从后往前 | 先保护后面的数据，不让它们被覆盖 |
| 删除 | 中间会出现一个缺口 | 从前往后 | 让后面的数据按顺序补上来 |
再记一遍：
- **插入：从后往前移**
- **删除：从前往后移**
这是本节最重要的结论。
---
## 六、两个最容易忽略的小细节
### 1. 插入前，数组要有空位
如果数组已经装满了，就不能直接插入。
比如数组最多只能放 5 个数，现在已经有 5 个数了，再插入第 6 个，就没有地方放了。
所以写程序时，常常会这样做：
- 开一个更大的数组，比如最多放 `100` 个数。
- 实际已经用了多少个，用变量 `n` 记录。
### 2. 删除后，不是把数“擦掉”，而是把长度减 1
数组删除一个元素后，最后那个位置里可能还保留着旧数值，但这已经不重要了。
因为程序只看前 `n` 个元素：
- 删除前看前 `n` 个
- 删除后只看前 `n - 1` 个
所以真正关键的是：
> **长度变了，数组有效范围也变了。**
---
## 七、特殊情况也要会判断
### 1. 在最后面插入
如果要在第 `n + 1` 个位置插入，也就是直接接到数组末尾：
```text
[12] [18] [23] [31] [40] -> [12] [18] [23] [31] [40] [50]
```
这时不需要搬动任何元素，直接放进去即可。
### 2. 删除最后一个元素
如果删除的是最后一个元素：
```text
[12] [18] [23] [31] [40] -> [12] [18] [23] [31]
```
这时也不需要搬动任何元素，只要把长度减 1 就行。
---
## 八、最容易犯的 5 个错误
### 错误 1：插入时移动方向写反
结果：后面的数据会被覆盖。
### 错误 2：删除时移动方向写反
结果：中间的数据会丢失。
### 错误 3：忘记更新 `n`
插入后忘记 `n++`，新元素虽然放进去了，但程序可能不把它算进去。
删除后忘记 `n--`，旧数据虽然应该消失了，但程序还会把它输出出来。
### 错误 4：把“第几个位置”和“下标”搞混
记住：
- 第 `1` 个位置，对应下标 `0`
- 第 `pos` 个位置，对应下标 `pos - 1`
### 错误 5：插入时没有预留空间
结果：数组越界，程序可能出错。
---
## 九、一张总图记住本节内容
```text
数组插入：先腾空位
[12] [18] [23] [31] [40] [ ]
← ← ←
[12] [18] [20] [23] [31] [40]
数组删除：先补缺口
[ 8] [11] [14] [17] [20]
→ →
[ 8] [11] [17] [20]
```
记忆口诀：
> **插入看后面，从后往前搬；删除看前面，从前往后搬。**
---
## 十、课堂版完整示例
下面是一份把“插入”和“删除”都写进去的课堂版程序。为了简单起见，输入位置 `pos` 按“第几个位置”来理解，也就是从 `1` 开始数。
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 105;
int a[MAXN];
int n;
void insertValue(int pos, int x) {
for (int i = n; i >= pos; i--) {
a[i] = a[i - 1];
}
a[pos - 1] = x;
n++;
}
void deleteValue(int pos) {
for (int i = pos; i < n; i++) {
a[i - 1] = a[i];
}
n--;
}
int main() {
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> a[i];
}
int pos, x;
cin >> pos >> x;
insertValue(pos, x);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cout << a[i] << " ";
}
cout << "\n";
cin >> pos;
deleteValue(pos);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cout << a[i] << " ";
}
cout << "\n";
return 0;
}
```
---
## 十一、自己试一试
### 1. 观察移动过程
把 `9` 插入到下面数组的第 2 个位置，请你把每一步移动都画出来：
```text
[3] [7] [12] [15] [ ]
```
### 2. 观察删除过程
删除下面数组的第 4 个位置，请你把每一步移动都画出来：
```text
[5] [8] [11] [14] [20]
```
### 3. 想一想
- 为什么插入和删除都可能需要移动很多个元素？
- 如果总是在数组最前面插入，会不会很麻烦？
如果你能清楚地回答这两个问题，就说明你已经真正理解数组的插入和删除了。

482
web/doc/3.1 原码反码补码.md Normal file
View File

@@ -0,0 +1,482 @@
# 3.1 原码、反码与补码
---
## 一、先搞清楚：计算机为什么只认识 0 和 1？
你有没有想过，我们平时写下的数字 `5`、`-3`、`100`，计算机根本"看不懂"？
计算机的本质是**电路**。电路里的导线，要么**通电**，要么**断电**，只有两种状态。科学家就用 `1` 表示通电，用 `0` 表示断电。这就是**二进制**的由来。
**类比：** 想象一排电灯开关，每个开关只能「开」或「关」。用这一排开关，我们可以用不同的开/关组合来代表不同的数字——这就是二进制的核心思想。
| 十进制 | 二进制 |
|:---:|:------:|
| 0 | `0000` |
| 1 | `0001` |
| 2 | `0010` |
| 3 | `0011` |
| 5 | `0101` |
| 7 | `0111` |
> **为什么不用十进制？**
> 如果用十进制，每根导线需要精确区分 10 种不同的电压（0V、1V、2V……9V）。电路稍微受到干扰，电压抖动一点，数字就读错了。而二进制只需区分「高电压」和「低电压」两种情况，极难出错，制造成本也低得多。
---
## 二、正数好说，负数怎么办？
表示 `5` 很简单，写成 `0101` 就行。但 `-5` 呢？
计算机存数字时，会分配固定长度的空间，比如 **8位**（8个 0 或 1）。科学家想出了一个办法：
> **把最左边（最高位）那一位专门用来表示正负，叫"符号位"：**
>
> - `0` → 正数
> - `1` → 负数
剩下的 7 位用来表示数值的大小。
这就是最朴素的方案——**原码**。
---
## 三、原码：最直观的方案
### 规则
- **正数：** 符号位写 `0`，后面写数值的二进制。
- **负数：** 符号位写 `1`，后面写数值**绝对值**的二进制。
### 例子（8位）
| 十进制 | 原码 |
|:----:|:-----------:|
| `+5` | `0000 0101` |
| `-5` | `1000 0101` |
| `+0` | `0000 0000` |
| `-0` | `1000 0000` |
直观，容易理解！但……
### 原码的两个大麻烦
**麻烦一：零有两个写法**
`+0` 写成 `0000 0000`，`-0` 写成 `1000 0000`，但它们其实是同一个数 `0`！这会让计算机很困惑——判断一个数是不是 `0` 时，要检查两种情况。
**麻烦二：加减法会算错**
用原码做 `5 + (-5)`，把两个原码直接相加：
```
0000 0101 (+5 的原码)
+ 1000 0101 (-5 的原码)
-----------
1000 1010 ← 这是 -10 的原码，答案错了！
```
正确答案应该是 `0`，结果算出了 `-10`。这意味着计算机必须专门写一套特殊的判断逻辑来处理负数加法，硬件电路会变得很复杂。
---
## 四、反码：改进的尝试
### 规则
- **正数：** 反码与原码**完全相同**。
- **负数：** 符号位保持 `1` 不变，其余 7 位**全部翻转**（`0` 变 `1`，`1` 变 `0`）。
### 例子（8位）
| 十进制 | 原码 | 反码 |
|:----:|:-----------:|:-----------:|
| `+5` | `0000 0101` | `0000 0101` |
| `-5` | `1000 0101` | `1111 1010` |
### 用反码再试试 `5 + (-5)`
```
0000 0101 (+5 的反码)
+ 1111 1010 (-5 的反码)
-----------
1111 1111 ← 这是反码，对应的真值是 -0
```
结果是 `1111 1111`，这个反码代表 `-0`。虽然不是理想的 `0000 0000`，但至少方向对了——运算逻辑有所改进。
### 反码还剩下的问题
零**依然有两种写法**：
- `0000 0000` = `+0` 的反码
- `1111 1111` = `-0` 的反码
问题没有根本解决，只是往前走了一步。
---
## 五、补码：现代计算机真正使用的方案
### 规则
- **正数：** 补码与原码**完全相同**。
- **负数：** 先求反码，再在最末位**加 1**。
### 一步步求 `-5` 的补码（8位）
```
第一步：写出 -5 的原码
1000 0101
第二步：符号位不变，其余位取反（得到反码）
1111 1010
第三步：反码末位加 1（得到补码）
1111 1010
+ 1
-----------
1111 1011 ← 这就是 -5 的补码
```
### 例子（8位）
| 十进制 | 原码 | 反码 | 补码 |
|:----:|:-----------:|:-----------:|:-------------:|
| `+5` | `0000 0101` | `0000 0101` | `0000 0101` |
| `-5` | `1000 0101` | `1111 1010` | `1111 1011` |
| `+0` | `0000 0000` | `0000 0000` | `0000 0000` |
| `-0` | `1000 0000` | `1111 1111` | `0000 0000` ✓ |
> **神奇的事情：** `-0` 的反码 `1111 1111` 加 `1`，得到 `1 0000 0000`，共 9 位！但我们只保留 8 位，最高位的 `1` 自动丢弃，结果就是 `0000 0000`。这样正负零合并为同一个编码了！
### 用补码验证 `5 + (-5)`
```
0000 0101 (+5 的补码)
+ 1111 1011 (-5 的补码)
-----------
1 0000 0000 ← 产生了进位，但只保留低 8 位
结果 = 0000 0000 = 0 ✓ 正确！
```
### 再验证 `7 + (-3)`（答案应为 4）
```
0000 0111 (+7 的补码)
+ 1111 1101 (-3 的补码)
-----------
1 0000 0100 ← 低 8 位是 0000 0100 = +4 ✓
```
补码让**减法可以用加法来做**，计算机只需要一个加法器就够了，硬件设计大大简化！
---
## 六、三种编码方式总结
| | 原码 | 反码 | 补码 |
|:------------:|:-----------:|:-------------:|:---------------:|
| **正数规则** | 符号位 0 + 绝对值 | 同原码 | 同原码 |
| **负数规则** | 符号位 1 + 绝对值 | 原码各位取反（符号位除外） | 反码 + 1 |
| **零的表示** | 两种（正零/负零） | 两种（正零/负零） | 一种（唯一） |
| **能否直接做加减法** | ✗ 不能 | 部分改善 | ✓ 可以 |
| **8位表示范围** | -127 ~ +127 | -127 ~ +127 | **-128 ~ +127** |
> **补码能多表示一个负数**，原因是消灭了 `-0`，空出来的编码 `1000 0000` 就用来表示 `-128`。
---
## 七、补码的"逆运算"：已知补码求原来的数
如果拿到一个**负数的补码**，怎么还原成十进制？
**方法：对补码再做一次"取反加一"即可。**
**例：** 已知某数的 8 位补码为 `1111 1011`，求它是多少？
```
第一步：末位加 1（取反加一 = 再做一次补码运算）
1111 1011 →（取反）→ 1000 0100 →（加1）→ 1000 0101
第二步：读结果：符号位为 1（负数），数值部分为 0000 0101 = 5
结论：1111 1011 这个补码表示的是 -5。
```
---
## 八、用 C++ 实现原码、反码、补码的输出
学完了手算方法，我们来用 C++ 写一个程序，让计算机自动完成这些步骤。
### 核心思路
用一个长度为 8 的 `int` 数组来表示 8 位二进制，**下标 0 存最低位，下标 7 存符号位（最高位）**。
- **原码**：先把绝对值不断除以 2 取余数，填入数组；再把下标 7 设为符号位（正数为 0，负数为 1）。
- **反码**：正数与原码相同；负数把除符号位以外的每一位取反（`0` 变 `1`，`1` 变 `0`，即 `1 - bit`）。
- **补码**：正数与原码相同；负数在反码的基础上加 1，用"逐位进位"模拟加法。
### 代码
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 将非负整数 n（0~127）的二进制填入数组 bits[]
// bits[0] 是最低位，bits[7] 是最高位（符号位）
void fillBits(int n, int bits[8]) {
for (int i = 0; i < 8; i++) {
bits[i] = n % 2;
n = n / 2;
}
}
// 打印 8 位数组，格式为 "XXXX XXXX"（高位在前）
void printBits(int bits[8]) {
for (int i = 7; i >= 0; i--) {
cout << bits[i];
if (i == 4) cout << " ";
}
cout << endl;
}
// 输出整数 n（范围 -127 ~ 127）的原码、反码、补码
void showCodes(int n) {
int original[8]; // 原码
int inverse[8]; // 反码
int complement[8]; // 补码
if (n >= 0) {
fillBits(n, original);
// 正数：三种编码完全相同
for (int i = 0; i < 8; i++) {
inverse[i] = original[i];
complement[i] = original[i];
}
} else {
// 原码：绝对值的二进制，符号位设为 1
fillBits(-n, original);
original[7] = 1;
// 反码：符号位不变，其余位取反
inverse[7] = 1;
for (int i = 0; i < 7; i++) {
inverse[i] = 1 - original[i];
}
// 补码：反码加 1，模拟手动进位
int carry = 1;
for (int i = 0; i < 8; i++) {
int sum = inverse[i] + carry;
complement[i] = sum % 2;
carry = sum / 2;
}
}
cout << "原码: "; printBits(original);
cout << "反码: "; printBits(inverse);
cout << "补码: "; printBits(complement);
}
int main() {
int n;
cin >> n;
if (n < -127 || n > 127) {
cout << "请输入 -127 到 127 之间的整数！" << endl;
return 0;
}
cout << "n = " << n << endl;
showCodes(n);
return 0;
}
```
### 运行示例
输入 `-5`，输出：
```
n = -5
原码: 1000 0101
反码: 1111 1010
补码: 1111 1011
```
输入 `5`，输出：
```
n = 5
原码: 0000 0101
反码: 0000 0101
补码: 0000 0101
```
### 关键代码讲解
**① `fillBits`：把整数转为二进制数组**
```
n = 5：
5 % 2 = 1 → bits[0] = 1, n = 5/2 = 2
2 % 2 = 0 → bits[1] = 0, n = 2/2 = 1
1 % 2 = 1 → bits[2] = 1, n = 1/2 = 0
其余位全为 0
```
这就是"短除法"的代码版本，与手算完全一致。
**② `inverse[i] = 1 - original[i]`：取反**
- `original[i]` 是 0 时，`1 - 0 = 1`；
- `original[i]` 是 1 时，`1 - 1 = 0`。
不需要任何特殊符号，普通减法就能完成翻转。
**③ 反码加 1 的进位模拟**
```
假设反码是 1111 1010，加 1：
carry = 1
i=0: 0+1=1, bits=1, carry=0
i=1: 1+0=1, bits=1, carry=0
...（carry 已为 0，后续不变）
结果：1111 1011 ← 这正是 -5 的补码
```
用 `sum % 2` 取本位，`sum / 2` 取进位，完全模拟了手算的竖式加法。
> **想一想：** 为什么范围限制在 `-127` 到 `127`，而不包括 `-128`？
> 因为 `-128` 没有合法的 8 位**原码**（8 位原码最多表示 `-127`），只有**补码**能表示它（`1000 0000`）。你可以尝试修改代码，增加对 `-128` 的特殊处理。
---
## 九、练习题
### 【第一组】进制转换热身
1. 将十进制 `13` 转换成二进制。
2. 将十进制 `25` 转换成二进制。
3. 将二进制 `0001 0110` 转换成十进制。
---
### 【第二组】求原码
用**8位**二进制写出下列各数的原码：
4. `+9`
5. `-9`
6. `+20`
7. `-20`
8. `+0` 和 `-0` 的原码分别是什么？它们相同吗？
---
### 【第三组】求反码
用**8位**二进制写出下列各数的反码（需要先写原码再推导）：
9. `+9`
10. `-9`
11. `-20`
12. `-1`（提示：`1` 的原码是 `0000 0001`）
---
### 【第四组】求补码
用**8位**二进制写出下列各数的补码：
13. `+9`
14. `-9`
15. `-20`
16. `-1`
17. `-128`（这道题有些特别，想想为什么原码方法不好用？）
---
### 【第五组】补码反推原值
已知以下 8 位补码，请判断符号并求出对应的十进制数：
18. `0000 1010`
19. `1111 1110`
20. `1111 0000`
21. `1000 0000`（提示：这是补码范围内的特殊值）
---
### 【第六组】补码加法验证
用补码计算以下各题，并验证结果正确（用 8 位，溢出位丢弃）：
22. `6 + (-2)`
23. `(-6) + (-2)`
24. `10 + (-10)`
25. `(-1) + 1`
---
### 【第七组】思考题
26. 为什么计算机不直接使用原码来做加减法？用 `3 + (-3)` 举例说明原码的问题。
27. 8 位补码最多能表示多少个不同的整数？范围是多少？
28. 如果把 8 位扩展到 **16 位**，用补码表示整数，范围是多少？（规律：$n$ 位补码的范围是 $-2^{n-1}$ 到 $2^{n-1}-1$）
---
## 参考答案
**第一组**
1. `1101`
2. `1 1001`（即 `0001 1001`）
3. `16 + 4 + 2 = 22`
**第二组**
4. `0000 1001`
5. `1000 1001`
6. `0001 0100`
7. `1001 0100`
8. 分别是 `0000 0000` 和 `1000 0000`，**不相同**。
**第三组**
9. `0000 1001`（正数不变）
10. `1111 0110`
11. `1110 1011`
12. `1111 1110`
**第四组**
13. `0000 1001`
14. `1111 0111`
15. `1110 1100`
16. `1111 1111`
17. `-128` 的 8 位补码为 `1000 0000`（这是规定值，因为补码多表示了这一个负数）
**第五组**
18. 符号位 `0`，正数，`= +10`
19. 取反加一：`0000 0001 + 1 = 0000 0010`，`= -2`
20. 取反加一：`0000 1111 + 1 = 0001 0000`，`= -16`
21. `-128`（特殊规定值）
**第六组**
22. `0000 0110 + 1111 1110 = 0000 0100 = +4` ✓
23. `1111 1010 + 1111 1110 = 1111 1000 = -8` ✓
24. `0000 1010 + 1111 0110 = 0000 0000 = 0` ✓
25. `1111 1111 + 0000 0001 = 0000 0000 = 0` ✓
**第七组**
26. `3 + (-3)` 用原码：`0000 0011 + 1000 0011 = 1000 0110 = -6`，答案错误。
27. $2^8 = 256$ 个，范围 `-128` 到 `+127`。
28. 范围是 `-32768` 到 `+32767`（即 $-2^{15}$ 到 $2^{15}-1$）。

595
web/doc/3.2 二进制运算.md Normal file
View File

@@ -0,0 +1,595 @@
# 3.2 二进制运算
---
## 一、为什么还要学“二进制运算”？
在上一节里，我们已经知道了计算机用二进制存数，也知道了补码能把减法变成加法。接下来要学的是：
- 按位与（AND）
- 按位或（OR）
- 按位非（NOT）
- 按位异或（XOR）
- 左移（`<<`）
- 右移（`>>`）
- 二进制加法
- 二进制减法
这些运算不是“冷知识”，而是程序里常见的底层工具：权限开关、状态压缩、快速比较、数据校验都会用到。
---
## 二、先记住 6 个位运算
设两个二进制位分别是 $a$ 和 $b$，每一位只可能是 0 或 1。
### 1. 按位与 AND（符号 `&`）
规则：只有两位都为 1，结果才是 1。
| a | b | a & b |
|:---:|:---:|:-----:|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
可以理解为“都同意才通过”。
### 2. 按位或 OR（符号 `|`）
规则：只要有一位是 1，结果就是 1。
| a | b | a \| b |
|:---:|:---:|:------:|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
可以理解为“有人同意就通过”。
### 3. 按位非 NOT（符号 `~`，一元运算）
规则：0 变 1，1 变 0。
| a | ~a |
|:---:|:---:|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
### 4. 按位异或 XOR（符号 `^`）
规则：两位不同为 1，相同为 0。
| a | b | a ^ b |
|:---:|:---:|:-----:|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
可以理解为“不同就亮灯”。
### 5. 左移（符号 `<<`）
规则：`x << k` 表示所有位向左移动 $k$ 位，右侧补 0。
- 在不溢出的情况下，数值相当于乘 $2^k$。
- 固定 32 位时，左边移出去的高位会被丢弃。
例：8 位下 `00101101 << 2 = 10110100`。
### 6. 右移（符号 `>>`）
规则：`x >> k` 表示所有位向右移动 $k$ 位。
- 对无符号数，左侧补 0。
- 对有符号数，很多语言会做“算术右移”（补符号位），所以课堂里先按无符号来理解更稳妥。
例：8 位下 `00101101 >> 3 = 00000101`。
---
## 三、C++ 里位运算的优先级（一定要加括号）
下面按 cppreference 的顺序，只保留“和计算最相关”的部分（第 5-7、9-15 级）：
| 优先级（高 -> 低） | 运算符 | 含义 | |
|:-----------:|:----------------- |:----- |:---:|
| 5 | `*` `/` `%` | 乘、除、模 | |
| 6 | `+` `-` | 加、减 | |
| 7 | `<<` `>>` | 左移、右移 | |
| 9 | `<` `<=` `>` `>=` | 关系比较 | |
| 10 | `==` `!=` | 相等比较 | |
| 11 | `&` | 按位与 | |
| 12 | `^` | 按位异或 | |
| 13 | `\|` | 按位或 | |
| 14 | `&&` | 逻辑与 | |
| 15 | `\|\|` | 逻辑或 | |
看 5 个典型例子：
1) `a + b << 1`
- 实际等价于 `(a + b) << 1`
- 不是 `a + (b << 1)`
2) `x | y & z`
- 实际等价于 `x | (y & z)`
- 不是 `(x | y) & z`
3) `a ^ b & c`
- 实际等价于 `a ^ (b & c)`
- 不是 `(a ^ b) & c`
4) `x + y > z`
- 实际等价于 `(x + y) > z`
- 不是 `x + (y > z)`
5) `a & b == 0`
- 实际等价于 `a & (b == 0)`（因为 `==` 高于 `&`）
- 想判断“按位与结果是否为 0”，应写成 `(a & b) == 0`
课堂建议：只要一个表达式里混用了两类以上运算符，就主动加括号，别赌记忆。
---
## 四、位串上的运算：逐位独立进行
例如：
```
a = 00101101
b = 00010111
```
逐位计算：
```
a & b = 00000101
a | b = 00111111
a ^ b = 00111010
~a = 11010010
```
注意：`~a` 的结果长度和机器位数有关。课堂里我们常固定成 8 位或 32 位来讨论。
### 竖式写法示范（像小学列竖式）
把高位写在左边、低位写在右边，同一列对齐后逐列运算。
1) 按位与 `&`
```text
0 0 1 0 1 1 0 1 (a)
& 0 0 0 1 0 1 1 1 (b)
----------------------
0 0 0 0 0 1 0 1 (a & b)
```
2) 按位或 `|`
```text
0 0 1 0 1 1 0 1 (a)
| 0 0 0 1 0 1 1 1 (b)
----------------------
0 0 1 1 1 1 1 1 (a | b)
```
3) 按位异或 `^`
```text
0 0 1 0 1 1 0 1 (a)
^ 0 0 0 1 0 1 1 1 (b)
----------------------
0 0 1 1 1 0 1 0 (a ^ b)
```
4) 左移与右移也可按“横向挪位”理解
```text
a : 0 0 1 0 1 1 0 1
a << 2 : 1 0 1 1 0 1 0 0 (左移两格，右侧补 0)
a >> 3 : 0 0 0 0 0 1 0 1 (右移三格，左侧补 0)
```
---
## 五、二进制加法与减法
### 1. 二进制加法
和十进制竖式一样，也是“本位求和 + 进位”。
单个位相加规则：
- $0+0=0$，进位 0
- $0+1=1$，进位 0
- $1+0=1$，进位 0
- $1+1=0$，进位 1
如果再加上原来的进位，就变成三数相加。
竖式例子（8 位）：`00101101 + 00010111`
```text
进位: 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1 0 1
+ 0 0 0 1 0 1 1 1
----------------------
0 1 0 0 0 1 0 0
```
可让学生从最右列开始，逐列写“本列结果位”和“向左进位”。
### 2. 二进制减法
可以按“借位法”逐位减，也可以用补码思想把减法变加法。
在本章练习里，统一按 **32 位无符号整数** 处理：
- 超过 $2^{32}-1$ 的高位进位丢弃
- 不足 0 时按 32 位环绕（相当于加上 $2^{32}$）
竖式例子（8 位）：`00101101 - 00010111`
```text
借位: 0 0 1 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1 0 1
- 0 0 0 1 0 1 1 1
----------------------
0 0 0 1 0 1 1 0
```
从最右列开始，若不够减就向左借 1（借 1 相当于当前位加 2）。
---
## 六、C++：用数组模拟按位运算与加减
下面给一份课堂版代码：
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int LEN = 32;
// 把无符号整数转成二进制数组：bits[0] 是最低位
void toBits(unsigned int x, int bits[]) {
for (int i = 0; i < LEN; i++) {
bits[i] = x % 2;
x /= 2;
}
}
// 把二进制数组转回无符号整数
unsigned int toUInt(const int bits[]) {
unsigned int x = 0;
for (int i = LEN - 1; i >= 0; i--) {
x = x * 2 + bits[i];
}
return x;
}
// 打印 32 位二进制串（高位在前）
void printBits(const int bits[]) {
for (int i = LEN - 1; i >= 0; i--) {
cout << bits[i];
}
cout << '\n';
}
void bitAnd(const int a[], const int b[], int c[]) {
for (int i = 0; i < LEN; i++) c[i] = a[i] & b[i];
}
void bitOr(const int a[], const int b[], int c[]) {
for (int i = 0; i < LEN; i++) c[i] = a[i] | b[i];
}
void bitXor(const int a[], const int b[], int c[]) {
for (int i = 0; i < LEN; i++) c[i] = a[i] ^ b[i];
}
void bitNot(const int a[], int c[]) {
for (int i = 0; i < LEN; i++) c[i] = 1 - a[i];
}
// 32 位无符号加法：溢出进位自动丢弃
void addBits(const int a[], const int b[], int c[]) {
int carry = 0;
for (int i = 0; i < LEN; i++) {
int sum = a[i] + b[i] + carry;
c[i] = sum % 2;
carry = sum / 2;
}
}
// 32 位无符号减法：逐位借位
void subBits(const int a[], const int b[], int c[]) {
int borrow = 0;
for (int i = 0; i < LEN; i++) {
int cur = a[i] - b[i] - borrow;
if (cur >= 0) {
c[i] = cur;
borrow = 0;
} else {
c[i] = cur + 2;
borrow = 1;
}
}
}
int main() {
unsigned int A, B;
cin >> A >> B;
int a[LEN], b[LEN], c[LEN];
toBits(A, a);
toBits(B, b);
cout << "A = "; printBits(a);
cout << "B = "; printBits(b);
bitAnd(a, b, c);
cout << "A AND B= "; printBits(c);
bitOr(a, b, c);
cout << "A OR B= "; printBits(c);
bitXor(a, b, c);
cout << "A XOR B= "; printBits(c);
bitNot(a, c);
cout << "NOT A = "; printBits(c);
addBits(a, b, c);
cout << "A + B = " << toUInt(c) << '\n';
subBits(a, b, c);
cout << "A - B = " << toUInt(c) << '\n';
return 0;
}
```
---
## 七、练习题
### 【第一组】按位运算热身（进阶版，8 位）
已知：
- `a = 00101101`
- `b = 00010111`
1. 求 `a & b`。
2. 求 `a | b`。
3. 求 `a ^ b`。
4. 求 `~a`。
5. 求 `~b`。
6. 求 `(a & b) ^ a`。
7. 求 `(a | b) ^ b`。
8. 求 `(a ^ b) & a`。
9. 求 `(a ^ b) | b`。
10. 求 `(~a) & b`。
11. 求 `(~b) | a`。
12. 求 `a & (~b)`。
13. 求 `(a | b) & (a ^ b)`。
再设：
- `c = 01011000`
- `d = 00110101`
14. 求 `c & d`。
15. 求 `c | d`。
16. 求 `c ^ d`。
17. 求 `(c ^ d) ^ c`。
18. 求 `(c & d) | (c ^ d)`。
19. 求 `~(c ^ d)`。
20. 求 `(~c) ^ d`。
再做移位：
21. 求 `a << 1`（8 位）。
22. 求 `a << 3`（8 位）。
23. 求 `a >> 2`（8 位）。
24. 求 `b >> 1`（8 位）。
25. 求 `(a << 2) & 0b11111111`（8 位掩码保留）。
26. 求 `(b << 1) ^ (a >> 2)`（8 位）。
---
### 【第二组】真值与规律（先判断，再写一句理由）
27. 对任意位串 `x`，是否总有 `x ^ x == 0`？
28. 对任意位串 `x`，是否总有 `x & x == x`？
29. 对任意位串 `x`，是否总有 `x | x == x`？
30. 对任意位串 `x`，是否总有 `x ^ 0 == x`？
31. 对任意位串 `x`，是否总有 `x ^ FULL_MASK == ~x`？（其中 `FULL_MASK` 指整个位宽全 1）
32. 对任意位串 `x`，是否总有 `(~x) & x == 0`？
33. 对任意位串 `x`，是否总有 `(~x) | x == FULL_MASK`？
34. 对任意非负整数 `x`，是否总有 `(x << 1) == 2 * x`？
35. 对任意非负整数 `x`，是否总有 `(x >> 1) == x / 2`（整除）？
36. 若 `x` 是 2 的幂，是否总有 `x > 0 && (x & (x - 1)) == 0`？
---
### 【第三组】加减法进阶（8 位，丢弃溢出位）
37. 计算：`00000101 + 00000110`
38. 计算：`11111111 + 00000001`
39. 计算：`00001010 - 00000011`
40. 计算：`00000000 - 00000001`
41. 计算：`10000000 + 10000000`
42. 计算：`01111111 + 00000001`
43. 计算：`01010101 + 00110011`
44. 计算：`00100000 - 00011111`
45. 计算：`00010000 - 00100000`
46. 计算：`10101010 - 01010101`
---
### 【第四组】逆向构造题（更像算法题）
设 `a = 11001010`，求一个 8 位 `x`，使得：
47. `a & x == 10001000`（若有多解，写出任意一个）
48. `a | x == 11101110`（若有多解，写出任意一个）
49. `a ^ x == 01100111`（写唯一解）
再设 `u = 00110110`，`v = 00000110`：
50. 构造一个 8 位 `y`，使得 `y & u == v`。
51. 判断是否存在 8 位 `z`，使得 `z | u == v`，若存在给出一个，若不存在说明原因。
---
### 【第五组】常用位技巧（探究题，重点）
这一组不要先背公式，先按题目把例子算出来，再归纳。
#### A. 探究“最低位 1”（lowbit）
对下面每个 `x`，先写出二进制，再计算 `-x`（按补码），最后算出 `x & (-x)`：
52. `x = 12`
53. `x = 40`
54. `x = 44`
55. `x = 72`
56. 观察 52-55 的结果，归纳一句话：`x & (-x)` 保留了 `x` 的哪一部分？
#### B. 探究“去掉最低位 1”
对下面每个 `x`，计算 `x - 1`，再算 `x & (x - 1)`：
57. `x = 12`
58. `x = 40`
59. `x = 44`
60. `x = 72`
61. 观察 57-60 的结果，归纳一句话：`x & (x-1)` 对二进制位做了什么变化？
#### C. 由例子得到“2 的幂”判定
分别计算 `x & (x - 1)`，并记录是否为 0：
62. `x = 1`
63. `x = 2`
64. `x = 4`
65. `x = 8`
66. `x = 3`
67. `x = 6`
68. 根据 62-67，总结：当 `x > 0` 时，什么条件等价于“`x` 是 2 的幂”？
#### D. 应用题（把结论用起来）
69. 不用循环，判断 `64` 是否是 2 的幂，并写出关键表达式值。
70. 不用循环，判断 `72` 是否是 2 的幂，并写出关键表达式值。
71. 设 `x = 01011000`（8 位），先求 `x & (-x)`，再给出最低位 1 的位置（最低位记第 0 位）。
72. 设 `x = 00101000`（8 位），先求 `x & (-x)`，再给出最低位 1 的位置（最低位记第 0 位）。
73. 设 `x = 10000000`（8 位），先求 `x & (-x)`，再给出最低位 1 的位置（最低位记第 0 位）。
74. 从 `x = 90` 开始，反复执行 `x = x & (x - 1)` 直到变成 0，需要几步？由此得到 `90` 的二进制中有几个 1？
75. 给定偶数 `n`，写出一个表达式快速判断它是否能被 4 整除，并说明对应的“二进制末尾特征”。
## 参考答案
**第一组**
1. `00000101`
2. `00111111`
3. `00111010`
4. `11010010`
5. `11101000`
6. `00101000`
7. `00101000`
8. `00101000`
9. `00111111`
10. `00010010`
11. `11101101`
12. `00101000`
13. `00111010`
14. `00010000`
15. `01111101`
16. `01101101`
17. `00110101`
18. `01111101`
19. `10010010`
20. `10010010`
21. `01011010`
22. `01101000`
23. `00001011`
24. `00001011`
25. `10110100`
26. `00100101`
**第二组**
27. 是。
28. 是。
29. 是。
30. 是。
31. 是（全 1 掩码下逐位翻转）。
32. 是。
33. 是。
34. 在不溢出的前提下是。
35. 是（无符号或非负整数语境下）。
36. 是。
**第三组**
37. `00001011`（十进制 11）
38. `00000000`（十进制 0）
39. `00000111`（十进制 7）
40. `11111111`（十进制 255）
41. `00000000`（十进制 0）
42. `10000000`（十进制 128）
43. `10001000`（十进制 136）
44. `00000001`（十进制 1）
45. `11110000`（十进制 240）
46. `01010101`（十进制 85）
**第四组（给一种可行解）**
47. 可取 `x = 10001100`。
48. 可取 `x = 01100100`。
49. 唯一解 `x = 10101101`。
50. 可取 `y = 11100110`（只要在 `u` 为 1 的位上与 `v` 对齐即可，`u` 为 0 的位任意）。
51. 不存在，因为按位或不会把 `u` 中的 1 变成 0，而 `u = 00110110` 在第 5、4、2、1 位已有 1，但 `v = 00000110` 在第 5、4 位是 0。
**第五组**
52. `12 = 1100`，`-12`（8 位）是 `11110100`，`12 & (-12) = 0100`（十进制 4）
53. `40 = 101000`，`40 & (-40) = 001000`（十进制 8）
54. `44 = 101100`，`44 & (-44) = 000100`（十进制 4）
55. `72 = 1001000`，`72 & (-72) = 0001000`（十进制 8）
56. 结论：`x & (-x)` 只保留最低位的 1，其余位清零（即 lowbit）
57. `12 & 11 = 1100 & 1011 = 1000`（十进制 8）
58. `40 & 39 = 101000 & 100111 = 100000`（十进制 32）
59. `44 & 43 = 101100 & 101011 = 101000`（十进制 40）
60. `72 & 71 = 1001000 & 1000111 = 1000000`（十进制 64）
61. 结论：`x & (x-1)` 会把最低位 1 消掉，且更低位保持为 0
62. `1 & 0 = 0`
63. `2 & 1 = 0`
64. `4 & 3 = 0`
65. `8 & 7 = 0`
66. `3 & 2 = 2`（非 0）
67. `6 & 5 = 4`（非 0）
68. 结论：`x > 0 && (x & (x - 1)) == 0` 当且仅当 `x` 是 2 的幂
69. `64 & 63 = 0`，所以是 2 的幂
70. `72 & 71 = 64`，非 0，所以不是 2 的幂
71. lowbit 是 `00001000`（8），最低位 1 在第 3 位
72. lowbit 是 `00001000`（8），最低位 1 在第 3 位
73. lowbit 是 `10000000`（128），最低位 1 在第 7 位
74. `90 -> 88 -> 80 -> 64 -> 0`，共 4 步，所以有 4 个 1
75. 可用 `(n & 3) == 0`，对应二进制末两位为 `00`

1222
web/doc/3.3 高阶位运算.md Normal file
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58
web/docs.php Normal file
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@@ -0,0 +1,58 @@
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$selected_file = basename($_GET['file']);
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$docs_root !== false &&
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$selected_markdown = file_get_contents($selected_path);
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$selected_markdown = '';
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?>

208
web/template/syzoj/docs.php Normal file
View File

@@ -0,0 +1,208 @@
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<h2>文档目录</h2>
<p>左侧选择 Markdown 文档，右侧查看渲染结果。</p>
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<div class="docs-nav">
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<div class="docs-empty">当前 doc 目录下还没有 Markdown 文档。</div>
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class="<?php if ($doc_entry['file'] === $selected_file) echo 'active'; ?>"
>
<?php echo htmlspecialchars($doc_entry['title'], ENT_QUOTES, 'UTF-8'); ?>
</a>
<?php } ?>
<?php } ?>
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</aside>
<section class="docs-content">
<div class="docs-content-header">
<h1><?php echo htmlspecialchars($selected_title, ENT_QUOTES, 'UTF-8'); ?></h1>
<span><?php echo empty($selected_file) ? '未选择文档' : htmlspecialchars($selected_file, ENT_QUOTES, 'UTF-8'); ?></span>
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<div class="ui info message">没有可显示的文档内容。</div>
<?php } ?>
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4
web/template/syzoj/header.php
View File

@@ -22,7 +22,7 @@
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}
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$url=basename(parse_url($_SERVER['REQUEST_URI'], PHP_URL_PATH));
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else $path_fix="";
@@ -154,6 +154,8 @@
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<i class="help icon"></i><?php echo $MSG_CPPREFRENCE?>
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<!-- 排名 -->
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