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hustoj/web/doc/3.1 原码反码补码.md

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3.1 原码、反码与补码

一、先搞清楚：计算机为什么只认识 0 和 1？

你有没有想过，我们平时写下的数字 5、-3、100，计算机根本"看不懂"？

计算机的本质是电路。电路里的导线，要么通电，要么断电，只有两种状态。科学家就用 1 表示通电，用 0 表示断电。这就是二进制的由来。

类比： 想象一排电灯开关，每个开关只能「开」或「关」。用这一排开关，我们可以用不同的开/关组合来代表不同的数字——这就是二进制的核心思想。

十进制 二进制
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
5 0101
7 0111

为什么不用十进制？ 如果用十进制，每根导线需要精确区分 10 种不同的电压（0V、1V、2V……9V）。电路稍微受到干扰，电压抖动一点，数字就读错了。而二进制只需区分「高电压」和「低电压」两种情况，极难出错，制造成本也低得多。

二、正数好说，负数怎么办？

表示 5 很简单，写成 0101 就行。但 -5 呢？

计算机存数字时，会分配固定长度的空间，比如 8位（8个 0 或 1）。科学家想出了一个办法：

把最左边（最高位）那一位专门用来表示正负，叫"符号位"：

  • 0 → 正数
  • 1 → 负数

剩下的 7 位用来表示数值的大小。

这就是最朴素的方案——原码。

三、原码：最直观的方案

规则

  • 正数： 符号位写 0，后面写数值的二进制。
  • 负数： 符号位写 1，后面写数值绝对值的二进制。

例子（8位）

十进制 原码
+5 0000 0101
-5 1000 0101
+0 0000 0000
-0 1000 0000

直观，容易理解！但……

原码的两个大麻烦

麻烦一：零有两个写法

+0 写成 0000 0000，-0 写成 1000 0000，但它们其实是同一个数 0！这会让计算机很困惑——判断一个数是不是 0 时，要检查两种情况。

麻烦二：加减法会算错

用原码做 5 + (-5)，把两个原码直接相加：

  0000 0101   (+5 的原码)
+ 1000 0101   (-5 的原码)
-----------
  1000 1010   ← 这是 -10 的原码，答案错了！

正确答案应该是 0，结果算出了 -10。这意味着计算机必须专门写一套特殊的判断逻辑来处理负数加法，硬件电路会变得很复杂。

四、反码：改进的尝试

规则

  • 正数： 反码与原码完全相同。
  • 负数： 符号位保持 1 不变，其余 7 位全部翻转（0 变 1，1 变 0）。

例子（8位）

十进制 原码 反码
+5 0000 0101 0000 0101
-5 1000 0101 1111 1010

用反码再试试 5 + (-5)

  0000 0101   (+5 的反码)
+ 1111 1010   (-5 的反码)
-----------
  1111 1111   ← 这是反码，对应的真值是 -0

结果是 1111 1111，这个反码代表 -0。虽然不是理想的 0000 0000，但至少方向对了——运算逻辑有所改进。

反码还剩下的问题

零依然有两种写法：

  • 0000 0000 = +0 的反码
  • 1111 1111 = -0 的反码

问题没有根本解决，只是往前走了一步。

五、补码：现代计算机真正使用的方案

规则

  • 正数： 补码与原码完全相同。
  • 负数： 先求反码，再在最末位加 1。

一步步求 -5 的补码（8位）

第一步：写出 -5 的原码
        1000 0101

第二步：符号位不变，其余位取反（得到反码）
        1111 1010

第三步：反码末位加 1（得到补码）
        1111 1010
      +         1
      -----------
        1111 1011   ← 这就是 -5 的补码

例子（8位）

十进制 原码 反码 补码
+5 0000 0101 0000 0101 0000 0101
-5 1000 0101 1111 1010 1111 1011
+0 0000 0000 0000 0000 0000 0000
-0 1000 0000 1111 1111 0000 0000 ✓

神奇的事情： -0 的反码 1111 1111 加 1，得到 1 0000 0000，共 9 位！但我们只保留 8 位，最高位的 1 自动丢弃，结果就是 0000 0000。这样正负零合并为同一个编码了！

用补码验证 5 + (-5)

  0000 0101   (+5 的补码)
+ 1111 1011   (-5 的补码)
-----------
1 0000 0000   ← 产生了进位，但只保留低 8 位

结果 = 0000 0000 = 0  ✓ 正确！

再验证 7 + (-3)（答案应为 4）

  0000 0111   (+7 的补码)
+ 1111 1101   (-3 的补码)
-----------
1 0000 0100   ← 低 8 位是 0000 0100 = +4  ✓

补码让减法可以用加法来做，计算机只需要一个加法器就够了，硬件设计大大简化！

六、三种编码方式总结

原码 反码 补码
正数规则 符号位 0 + 绝对值 同原码 同原码
负数规则 符号位 1 + 绝对值 原码各位取反（符号位除外） 反码 + 1
零的表示 两种（正零/负零） 两种（正零/负零） 一种（唯一）
能否直接做加减法 ✗ 不能 部分改善 ✓ 可以
8位表示范围 -127 ~ +127 -127 ~ +127 -128 ~ +127

补码能多表示一个负数，原因是消灭了 -0，空出来的编码 1000 0000 就用来表示 -128。

七、补码的"逆运算"：已知补码求原来的数

如果拿到一个负数的补码，怎么还原成十进制？

方法：对补码再做一次"取反加一"即可。

例： 已知某数的 8 位补码为 1111 1011，求它是多少？

第一步：末位加 1（取反加一 = 再做一次补码运算）
        1111 1011  →（取反）→  1000 0100  →（加1）→  1000 0101

第二步：读结果：符号位为 1（负数），数值部分为 0000 0101 = 5

结论：1111 1011 这个补码表示的是 -5。

八、用 C++ 实现原码、反码、补码的输出

学完了手算方法，我们来用 C++ 写一个程序，让计算机自动完成这些步骤。

核心思路

用一个长度为 8 的 int 数组来表示 8 位二进制，下标 0 存最低位，下标 7 存符号位（最高位）。

  • 原码：先把绝对值不断除以 2 取余数，填入数组；再把下标 7 设为符号位（正数为 0，负数为 1）。
  • 反码：正数与原码相同；负数把除符号位以外的每一位取反（0 变 1，1 变 0，即 1 - bit）。
  • 补码：正数与原码相同；负数在反码的基础上加 1，用"逐位进位"模拟加法。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 将非负整数 n（0~127）的二进制填入数组 bits[]
// bits[0] 是最低位，bits[7] 是最高位（符号位）
void fillBits(int n, int bits[8]) {
    for (int i = 0; i < 8; i++) {
        bits[i] = n % 2;
        n = n / 2;
    }
}

// 打印 8 位数组，格式为 "XXXX XXXX"（高位在前）
void printBits(int bits[8]) {
    for (int i = 7; i >= 0; i--) {
        cout << bits[i];
        if (i == 4) cout << " ";
    }
    cout << endl;
}

// 输出整数 n（范围 -127 ~ 127）的原码、反码、补码
void showCodes(int n) {
    int original[8];   // 原码
    int inverse[8];    // 反码
    int complement[8]; // 补码

    if (n >= 0) {
        fillBits(n, original);
        // 正数：三种编码完全相同
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            inverse[i]    = original[i];
            complement[i] = original[i];
        }
    } else {
        // 原码：绝对值的二进制，符号位设为 1
        fillBits(-n, original);
        original[7] = 1;

        // 反码：符号位不变，其余位取反
        inverse[7] = 1;
        for (int i = 0; i < 7; i++) {
            inverse[i] = 1 - original[i];
        }

        // 补码：反码加 1，模拟手动进位
        int carry = 1;
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            int sum      = inverse[i] + carry;
            complement[i] = sum % 2;
            carry         = sum / 2;
        }
    }

    cout << "原码: "; printBits(original);
    cout << "反码: "; printBits(inverse);
    cout << "补码: "; printBits(complement);
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    if (n < -127 || n > 127) {
        cout << "请输入 -127 到 127 之间的整数！" << endl;
        return 0;
    }

    cout << "n = " << n << endl;
    showCodes(n);
    return 0;
}

运行示例

输入 -5，输出：

n = -5
原码: 1000 0101
反码: 1111 1010
补码: 1111 1011

输入 5，输出：

n = 5
原码: 0000 0101
反码: 0000 0101
补码: 0000 0101

关键代码讲解

① fillBits：把整数转为二进制数组

n = 5：
  5 % 2 = 1 → bits[0] = 1,  n = 5/2 = 2
  2 % 2 = 0 → bits[1] = 0,  n = 2/2 = 1
  1 % 2 = 1 → bits[2] = 1,  n = 1/2 = 0
  其余位全为 0

这就是"短除法"的代码版本，与手算完全一致。

② inverse[i] = 1 - original[i]：取反

  • original[i] 是 0 时，1 - 0 = 1；
  • original[i] 是 1 时，1 - 1 = 0。

不需要任何特殊符号，普通减法就能完成翻转。

③ 反码加 1 的进位模拟

  假设反码是 1111 1010，加 1：
  carry = 1
  i=0: 0+1=1, bits=1, carry=0
  i=1: 1+0=1, bits=1, carry=0
  ...（carry 已为 0，后续不变）
  结果：1111 1011  ← 这正是 -5 的补码

用 sum % 2 取本位，sum / 2 取进位，完全模拟了手算的竖式加法。

想一想： 为什么范围限制在 -127 到 127，而不包括 -128？ 因为 -128 没有合法的 8 位原码（8 位原码最多表示 -127），只有补码能表示它（1000 0000）。你可以尝试修改代码，增加对 -128 的特殊处理。

九、练习题

【第一组】进制转换热身

  1. 将十进制 13 转换成二进制。
  2. 将十进制 25 转换成二进制。
  3. 将二进制 0001 0110 转换成十进制。

【第二组】求原码

用8位二进制写出下列各数的原码：

  1. +9
  2. -9
  3. +20
  4. -20
  5. +0 和 -0 的原码分别是什么？它们相同吗？

【第三组】求反码

用8位二进制写出下列各数的反码（需要先写原码再推导）：

  1. +9
  2. -9
  3. -20
  4. -1（提示：1 的原码是 0000 0001）

【第四组】求补码

用8位二进制写出下列各数的补码：

  1. +9
  2. -9
  3. -20
  4. -1
  5. -128（这道题有些特别，想想为什么原码方法不好用？）

【第五组】补码反推原值

已知以下 8 位补码，请判断符号并求出对应的十进制数：

  1. 0000 1010
  2. 1111 1110
  3. 1111 0000
  4. 1000 0000（提示：这是补码范围内的特殊值）

【第六组】补码加法验证

用补码计算以下各题，并验证结果正确（用 8 位，溢出位丢弃）：

  1. 6 + (-2)
  2. (-6) + (-2)
  3. 10 + (-10)
  4. (-1) + 1

【第七组】思考题

  1. 为什么计算机不直接使用原码来做加减法？用 3 + (-3) 举例说明原码的问题。
  2. 8 位补码最多能表示多少个不同的整数？范围是多少？
  3. 如果把 8 位扩展到 16 位，用补码表示整数，范围是多少？（规律：n 位补码的范围是 -2^{n-1} 到 $2^{n-1}-1$）

参考答案

第一组

  1. 1101
  2. 1 1001（即 0001 1001）
  3. 16 + 4 + 2 = 22

第二组

  1. 0000 1001
  2. 1000 1001
  3. 0001 0100
  4. 1001 0100
  5. 分别是 0000 0000 和 1000 0000，不相同。

第三组

  1. 0000 1001（正数不变）
  2. 1111 0110
  3. 1110 1011
  4. 1111 1110

第四组

  1. 0000 1001
  2. 1111 0111
  3. 1110 1100
  4. 1111 1111
  5. -128 的 8 位补码为 1000 0000（这是规定值，因为补码多表示了这一个负数）

第五组

  1. 符号位 0，正数，= +10
  2. 取反加一：0000 0001 + 1 = 0000 0010，= -2
  3. 取反加一：0000 1111 + 1 = 0001 0000，= -16
  4. -128（特殊规定值）

第六组

  1. 0000 0110 + 1111 1110 = 0000 0100 = +4 ✓
  2. 1111 1010 + 1111 1110 = 1111 1000 = -8 ✓
  3. 0000 1010 + 1111 0110 = 0000 0000 = 0 ✓
  4. 1111 1111 + 0000 0001 = 0000 0000 = 0 ✓

第七组

  1. 3 + (-3) 用原码：0000 0011 + 1000 0011 = 1000 0110 = -6，答案错误。
  2. 2^8 = 256 个，范围 -128 到 +127。
  3. 范围是 -32768 到 +32767（即 -2^{15} 到 $2^{15}-1$）。
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