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# 3.1 原码、反码与补码
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## 一、先搞清楚：计算机为什么只认识 0 和 1？
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你有没有想过，我们平时写下的数字 `5`、`-3`、`100`，计算机根本"看不懂"？
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计算机的本质是**电路**。电路里的导线，要么**通电**，要么**断电**，只有两种状态。科学家就用 `1` 表示通电，用 `0` 表示断电。这就是**二进制**的由来。
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**类比：** 想象一排电灯开关，每个开关只能「开」或「关」。用这一排开关，我们可以用不同的开/关组合来代表不同的数字——这就是二进制的核心思想。
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| 十进制 | 二进制 |
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|:---:|:------:|
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| 0 | `0000` |
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| 1 | `0001` |
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| 2 | `0010` |
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| 3 | `0011` |
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| 5 | `0101` |
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| 7 | `0111` |
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> **为什么不用十进制？**
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> 如果用十进制，每根导线需要精确区分 10 种不同的电压（0V、1V、2V……9V）。电路稍微受到干扰，电压抖动一点，数字就读错了。而二进制只需区分「高电压」和「低电压」两种情况，极难出错，制造成本也低得多。
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## 二、正数好说，负数怎么办？
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表示 `5` 很简单，写成 `0101` 就行。但 `-5` 呢？
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计算机存数字时，会分配固定长度的空间，比如 **8位**（8个 0 或 1）。科学家想出了一个办法：
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> **把最左边（最高位）那一位专门用来表示正负，叫"符号位"：**
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>
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> - `0` → 正数
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> - `1` → 负数
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剩下的 7 位用来表示数值的大小。
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这就是最朴素的方案——**原码**。
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## 三、原码：最直观的方案
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### 规则
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- **正数：** 符号位写 `0`，后面写数值的二进制。
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- **负数：** 符号位写 `1`，后面写数值**绝对值**的二进制。
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### 例子（8位）
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| 十进制 | 原码 |
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|:----:|:-----------:|
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| `+5` | `0000 0101` |
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| `-5` | `1000 0101` |
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| `+0` | `0000 0000` |
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| `-0` | `1000 0000` |
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直观，容易理解！但……
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### 原码的两个大麻烦
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**麻烦一：零有两个写法**
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`+0` 写成 `0000 0000`，`-0` 写成 `1000 0000`，但它们其实是同一个数 `0`！这会让计算机很困惑——判断一个数是不是 `0` 时，要检查两种情况。
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**麻烦二：加减法会算错**
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用原码做 `5 + (-5)`，把两个原码直接相加：
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```
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0000 0101 (+5 的原码)
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+ 1000 0101 (-5 的原码)
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1000 1010 ← 这是 -10 的原码，答案错了！
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```
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正确答案应该是 `0`，结果算出了 `-10`。这意味着计算机必须专门写一套特殊的判断逻辑来处理负数加法，硬件电路会变得很复杂。
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## 四、反码：改进的尝试
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### 规则
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- **正数：** 反码与原码**完全相同**。
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- **负数：** 符号位保持 `1` 不变，其余 7 位**全部翻转**（`0` 变 `1`，`1` 变 `0`）。
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### 例子（8位）
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| 十进制 | 原码 | 反码 |
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|:----:|:-----------:|:-----------:|
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| `+5` | `0000 0101` | `0000 0101` |
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| `-5` | `1000 0101` | `1111 1010` |
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### 用反码再试试 `5 + (-5)`
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```
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0000 0101 (+5 的反码)
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+ 1111 1010 (-5 的反码)
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1111 1111 ← 这是反码，对应的真值是 -0
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```
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结果是 `1111 1111`，这个反码代表 `-0`。虽然不是理想的 `0000 0000`，但至少方向对了——运算逻辑有所改进。
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### 反码还剩下的问题
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零**依然有两种写法**：
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- `0000 0000` = `+0` 的反码
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- `1111 1111` = `-0` 的反码
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问题没有根本解决，只是往前走了一步。
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## 五、补码：现代计算机真正使用的方案
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### 规则
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- **正数：** 补码与原码**完全相同**。
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- **负数：** 先求反码，再在最末位**加 1**。
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### 一步步求 `-5` 的补码（8位）
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```
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第一步：写出 -5 的原码
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1000 0101
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第二步：符号位不变，其余位取反（得到反码）
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1111 1010
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第三步：反码末位加 1（得到补码）
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1111 1010
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+ 1
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1111 1011 ← 这就是 -5 的补码
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```
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### 例子（8位）
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| 十进制 | 原码 | 反码 | 补码 |
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|:----:|:-----------:|:-----------:|:-------------:|
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| `+5` | `0000 0101` | `0000 0101` | `0000 0101` |
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| `-5` | `1000 0101` | `1111 1010` | `1111 1011` |
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| `+0` | `0000 0000` | `0000 0000` | `0000 0000` |
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| `-0` | `1000 0000` | `1111 1111` | `0000 0000` ✓ |
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> **神奇的事情：** `-0` 的反码 `1111 1111` 加 `1`，得到 `1 0000 0000`，共 9 位！但我们只保留 8 位，最高位的 `1` 自动丢弃，结果就是 `0000 0000`。这样正负零合并为同一个编码了！
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### 用补码验证 `5 + (-5)`
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```
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0000 0101 (+5 的补码)
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+ 1111 1011 (-5 的补码)
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1 0000 0000 ← 产生了进位，但只保留低 8 位
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结果 = 0000 0000 = 0 ✓ 正确！
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```
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### 再验证 `7 + (-3)`（答案应为 4）
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```
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0000 0111 (+7 的补码)
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+ 1111 1101 (-3 的补码)
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1 0000 0100 ← 低 8 位是 0000 0100 = +4 ✓
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```
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补码让**减法可以用加法来做**，计算机只需要一个加法器就够了，硬件设计大大简化！
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## 六、三种编码方式总结
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| | 原码 | 反码 | 补码 |
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|:------------:|:-----------:|:-------------:|:---------------:|
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| **正数规则** | 符号位 0 + 绝对值 | 同原码 | 同原码 |
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| **负数规则** | 符号位 1 + 绝对值 | 原码各位取反（符号位除外） | 反码 + 1 |
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| **零的表示** | 两种（正零/负零） | 两种（正零/负零） | 一种（唯一） |
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| **能否直接做加减法** | ✗ 不能 | 部分改善 | ✓ 可以 |
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| **8位表示范围** | -127 ~ +127 | -127 ~ +127 | **-128 ~ +127** |
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> **补码能多表示一个负数**，原因是消灭了 `-0`，空出来的编码 `1000 0000` 就用来表示 `-128`。
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## 七、补码的"逆运算"：已知补码求原来的数
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如果拿到一个**负数的补码**，怎么还原成十进制？
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**方法：对补码再做一次"取反加一"即可。**
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**例：** 已知某数的 8 位补码为 `1111 1011`，求它是多少？
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第一步：末位加 1（取反加一 = 再做一次补码运算）
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1111 1011 →（取反）→ 1000 0100 →（加1）→ 1000 0101
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第二步：读结果：符号位为 1（负数），数值部分为 0000 0101 = 5
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结论：1111 1011 这个补码表示的是 -5。
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## 八、用 C++ 实现原码、反码、补码的输出
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学完了手算方法，我们来用 C++ 写一个程序，让计算机自动完成这些步骤。
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### 核心思路
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用一个长度为 8 的 `int` 数组来表示 8 位二进制，**下标 0 存最低位，下标 7 存符号位（最高位）**。
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- **原码**：先把绝对值不断除以 2 取余数，填入数组；再把下标 7 设为符号位（正数为 0，负数为 1）。
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- **反码**：正数与原码相同；负数把除符号位以外的每一位取反（`0` 变 `1`，`1` 变 `0`，即 `1 - bit`）。
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- **补码**：正数与原码相同；负数在反码的基础上加 1，用"逐位进位"模拟加法。
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### 代码
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```cpp
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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// 将非负整数 n（0~127）的二进制填入数组 bits[]
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// bits[0] 是最低位，bits[7] 是最高位（符号位）
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void fillBits(int n, int bits[8]) {
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for (int i = 0; i < 8; i++) {
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bits[i] = n % 2;
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n = n / 2;
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}
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}
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// 打印 8 位数组，格式为 "XXXX XXXX"（高位在前）
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void printBits(int bits[8]) {
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for (int i = 7; i >= 0; i--) {
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cout << bits[i];
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if (i == 4) cout << " ";
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}
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cout << endl;
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}
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// 输出整数 n（范围 -127 ~ 127）的原码、反码、补码
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void showCodes(int n) {
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int original[8]; // 原码
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int inverse[8]; // 反码
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int complement[8]; // 补码
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if (n >= 0) {
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fillBits(n, original);
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// 正数：三种编码完全相同
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for (int i = 0; i < 8; i++) {
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inverse[i] = original[i];
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complement[i] = original[i];
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}
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} else {
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// 原码：绝对值的二进制，符号位设为 1
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fillBits(-n, original);
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original[7] = 1;
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// 反码：符号位不变，其余位取反
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inverse[7] = 1;
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||
for (int i = 0; i < 7; i++) {
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inverse[i] = 1 - original[i];
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}
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// 补码：反码加 1，模拟手动进位
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int carry = 1;
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for (int i = 0; i < 8; i++) {
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int sum = inverse[i] + carry;
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complement[i] = sum % 2;
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carry = sum / 2;
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}
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}
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cout << "原码: "; printBits(original);
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cout << "反码: "; printBits(inverse);
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cout << "补码: "; printBits(complement);
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}
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int main() {
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int n;
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cin >> n;
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if (n < -127 || n > 127) {
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cout << "请输入 -127 到 127 之间的整数！" << endl;
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return 0;
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}
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cout << "n = " << n << endl;
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showCodes(n);
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return 0;
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}
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```
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### 运行示例
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输入 `-5`，输出：
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```
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n = -5
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原码: 1000 0101
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反码: 1111 1010
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补码: 1111 1011
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```
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||
输入 `5`，输出：
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```
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n = 5
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原码: 0000 0101
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反码: 0000 0101
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||
补码: 0000 0101
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||
```
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### 关键代码讲解
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**① `fillBits`：把整数转为二进制数组**
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```
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n = 5：
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5 % 2 = 1 → bits[0] = 1, n = 5/2 = 2
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2 % 2 = 0 → bits[1] = 0, n = 2/2 = 1
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1 % 2 = 1 → bits[2] = 1, n = 1/2 = 0
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其余位全为 0
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```
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这就是"短除法"的代码版本，与手算完全一致。
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**② `inverse[i] = 1 - original[i]`：取反**
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- `original[i]` 是 0 时，`1 - 0 = 1`；
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- `original[i]` 是 1 时，`1 - 1 = 0`。
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不需要任何特殊符号，普通减法就能完成翻转。
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**③ 反码加 1 的进位模拟**
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```
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假设反码是 1111 1010，加 1：
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carry = 1
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i=0: 0+1=1, bits=1, carry=0
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i=1: 1+0=1, bits=1, carry=0
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...（carry 已为 0，后续不变）
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结果：1111 1011 ← 这正是 -5 的补码
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```
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用 `sum % 2` 取本位，`sum / 2` 取进位，完全模拟了手算的竖式加法。
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> **想一想：** 为什么范围限制在 `-127` 到 `127`，而不包括 `-128`？
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> 因为 `-128` 没有合法的 8 位**原码**（8 位原码最多表示 `-127`），只有**补码**能表示它（`1000 0000`）。你可以尝试修改代码，增加对 `-128` 的特殊处理。
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## 九、练习题
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### 【第一组】进制转换热身
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1. 将十进制 `13` 转换成二进制。
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2. 将十进制 `25` 转换成二进制。
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3. 将二进制 `0001 0110` 转换成十进制。
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### 【第二组】求原码
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用**8位**二进制写出下列各数的原码：
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4. `+9`
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5. `-9`
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6. `+20`
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7. `-20`
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8. `+0` 和 `-0` 的原码分别是什么？它们相同吗？
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### 【第三组】求反码
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用**8位**二进制写出下列各数的反码（需要先写原码再推导）：
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9. `+9`
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10. `-9`
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11. `-20`
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12. `-1`（提示：`1` 的原码是 `0000 0001`）
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### 【第四组】求补码
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用**8位**二进制写出下列各数的补码：
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13. `+9`
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14. `-9`
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15. `-20`
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16. `-1`
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17. `-128`（这道题有些特别，想想为什么原码方法不好用？）
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### 【第五组】补码反推原值
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已知以下 8 位补码，请判断符号并求出对应的十进制数：
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18. `0000 1010`
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19. `1111 1110`
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20. `1111 0000`
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21. `1000 0000`（提示：这是补码范围内的特殊值）
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### 【第六组】补码加法验证
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用补码计算以下各题，并验证结果正确（用 8 位，溢出位丢弃）：
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22. `6 + (-2)`
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23. `(-6) + (-2)`
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24. `10 + (-10)`
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25. `(-1) + 1`
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### 【第七组】思考题
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26. 为什么计算机不直接使用原码来做加减法？用 `3 + (-3)` 举例说明原码的问题。
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27. 8 位补码最多能表示多少个不同的整数？范围是多少？
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28. 如果把 8 位扩展到 **16 位**，用补码表示整数，范围是多少？（规律：$n$ 位补码的范围是 $-2^{n-1}$ 到 $2^{n-1}-1$）
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## 参考答案
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**第一组**
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1. `1101`
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2. `1 1001`（即 `0001 1001`）
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3. `16 + 4 + 2 = 22`
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**第二组**
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4. `0000 1001`
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5. `1000 1001`
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6. `0001 0100`
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7. `1001 0100`
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8. 分别是 `0000 0000` 和 `1000 0000`，**不相同**。
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**第三组**
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9. `0000 1001`（正数不变）
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10. `1111 0110`
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11. `1110 1011`
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12. `1111 1110`
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**第四组**
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13. `0000 1001`
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14. `1111 0111`
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15. `1110 1100`
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16. `1111 1111`
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17. `-128` 的 8 位补码为 `1000 0000`（这是规定值，因为补码多表示了这一个负数）
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**第五组**
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18. 符号位 `0`，正数，`= +10`
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19. 取反加一：`0000 0001 + 1 = 0000 0010`，`= -2`
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||
20. 取反加一：`0000 1111 + 1 = 0001 0000`，`= -16`
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21. `-128`（特殊规定值）
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**第六组**
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22. `0000 0110 + 1111 1110 = 0000 0100 = +4` ✓
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23. `1111 1010 + 1111 1110 = 1111 1000 = -8` ✓
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24. `0000 1010 + 1111 0110 = 0000 0000 = 0` ✓
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25. `1111 1111 + 0000 0001 = 0000 0000 = 0` ✓
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**第七组**
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26. `3 + (-3)` 用原码：`0000 0011 + 1000 0011 = 1000 0110 = -6`，答案错误。
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27. $2^8 = 256$ 个，范围 `-128` 到 `+127`。
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28. 范围是 `-32768` 到 `+32767`（即 $-2^{15}$ 到 $2^{15}-1$）。
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